自II型高温超导材料发现以来，因其更高临界温度与更高临界磁场的优异性能已引起超导电工界的更多关注，相关的超导薄膜、CORC超导电缆与超导磁体等已进入工程研制与应用阶段。在这类超导材料的工程应用中，超导结构电磁性能有效的计算模式是其电磁结构研制设计的一个重要环节。在这类定量研究中，主要是在宏观非线性超导电磁本构关系基础上，采用有限元方法对Maxwell电磁方程组的定量求解。对于这类高温超导材料，最早提出的最为简单的宏观电磁本构关系为著名的临界态模型，即在有电场的区域，域内电流等于超导材料的临界电流；而在没有电场的区域，电流为零。这一模型虽在超导宏观电场物理中得到广泛应用，但因其具有突跳多值性，绝大多数仅在简单超导结构下进行解析计算。而在复杂超导结构情形，由于临界态本构关系没有可微或可求导的性质以及数学上的多值性，使得这一本构模型在数值模式中难以应用。为了克服这一不足，超导界又提出了电场与电流密度关联的幂律非线性本构模型（见图1）。在这一幂律本构关系中，当幂指数等于1时，其本构关系就是常导情形下的欧姆定律（线性）；随着幂指数的增大，其电磁本构关系的非线性程度也随之增大。当幂指数趋于无穷大时，其电场本构关系就成为临界态本构模型。而在实际计算中，无论幂指数取多大，都是临界态模型的一种逼近。除此之外，还可能存在计算效率与适应性等问题。
图1 超导临界态以及E-J幂次模型的本构关系。临界态模型呈现典型的不可微特性。
为了攻克这一难题，兰州大学超导力学研究团队采用一种全新的学科交叉路径提出了一种可实现且可广泛使用的新的数值模型与高精度的数值稳定求解途径。即对于II型高温超导材料，其微观超导磁通涡旋的“钉扎-脱钉”运动类似于力学中界面摩擦的“粘滞-滑移”（stick-slip）关系，即接触界面在达到特定阈值（最大静摩擦力）后发生相对滑移。于是借助于经典塑性理论与摩擦理论，将超导区域内的电流密度小于或等于其临界值Jc视为超导电流的屈服函数。同时，超导体内部磁通涡旋运动会激发电磁场，导致电磁能量的不可逆耗散。在此基础上，给出了超导磁通运动规律的最大耗散准则，即实际电流密度J在所有满足屈服条件的容许电流密度中，使电磁耗散功率达到最大值。在此基础上，基于临界态的电磁场数学问题转化为一含不等式约束的优化问题。通过对上述拉格朗日量进行微分，导出了宏观超导临界态本构所需满足的流动法则及其对应的库恩-塔克（Kuhn-Tucker）条件（见图2），从而实现了基于临界态本构关系的严格数学模式。
图2 超导临界态本构需满足的流动法则及对应的库恩-塔克条件；在各向同性假设下临界态模型的屈服面如图所示。
在该模式基础上，基于电磁场数值计算的磁矢势A模型实现了临界态模型的通用化计算，并针对存在的大梯度域数值振荡现象提出可有效计算格式，进而克服了可引发的数值不收敛问题（如图3所示），从而保证了数值求解的稳定性。这一新的高温超导数值模型成功地实现了不同典型超导结构（含复杂缆结构）的电磁场与电流密度分布的高精度求解。在对超导薄膜的定量求解获得计算效率提高了1个数量级的验证后，给出了CORC电缆等实际超导结构的电流密度与磁场分布计算结果，如图4所示。这一数值模式创新的论文以“Critical state model for superconductivity: features and numerical implementation”为题被计算物理知名国际期刊《Journal of Computational Physics》发表。论文由兰州大学超导力学团队独立完成，作者为王斯坚（博士后）、雍华东教授（通讯作者）和周又和院士。王斯坚博士于2025年在兰州大学超导力学团队获博士学位后留校从事萃英博士后研究，获批2026年度国家资助博士后研究人员计划C档项目，其博士学位论文获2024-2025学年度甘肃省优秀博士学位论文。
图3 超导电磁计算中固有的大梯度问题，该问题引发数值振荡现象并进而导致模型数值不收敛。
图4 临界态模型计算的超导电缆内部电流以及磁场分布。
论文评审专家对这一工作给予了高度评价：“This paper presents a highly commendable and rigorous contribution to the computational modeling of superconductivity. The work is distinguished by its innovative interdisciplinary approach, successfully bridging concepts from continuum mechanics and optimization theory to address the complex, non-linear physics of the critical state. The authors' methodology is both clever and practical: the formulation of a Lagrangian based on the principle of maximum dissipation and the subsequent derivation of flow rules provide a solid theoretical foundation. A particular strength lies in the adept handling of numerical challenges. The proposed regularization scheme for the Kuhn-Tucker conditions is an elegant solution inspired by well-established mechanical analogies, demonstrating both creativity and engineering insight. Furthermore, the authors show deep numerical acumen by identifying the root cause of convergence failure—the large gradient in current density—and resolving it through a judicious choice of mixed-order discretization for the magnetic vector potential and current density. This attention to numerical stability is crucial for practical applications.”（评审意见译文：这一论文对于超导计算模型展现出了高度值得赞扬与缜密的贡献。其研究工作以新颖的跨学科方式为特征：成功地架起了连续力学、优化理论到表述（超导）临界态的复杂、非线性物理的桥梁。作者们的方法既是聪慧的又是实际的，即基于最大耗散原理的拉格朗日格式和流动法则的推导为这一理论奠定了坚实基础，其突出优势体现在对多个数值计算挑战的娴熟处理，包括用成熟力学的类推提出的对Kuhn-Tucker条件所激发出的正则化是一精美的解决办法，并展示出了原创性与工程洞察力。此外，作者们通过确认出电流密度大梯度为收敛性失效的根本原因，并通过对磁矢势与电流密度（未知量）混合阶离散的明知选择来解决这一问题，进而展现出了很深的数值敏锐，这一数值稳定性的细致关注对于实际应用是至关重要的。）
本文的这一成果是该团队前期工作的拓展与深入。先前工作是关于幂律本构的超导电磁场数值模式与计算，即将此类电磁场计算等价于求解一个非线性凸优化问题，有效避免了传统电磁计算方法对于空气域的建模，降低了数值计算成本。在实际问题定量求解计算方面，研究团队利用“不可行起点牛顿法”这一优化技术，实现了对堆叠超导带材、准各向同性电缆以及绝缘/无绝缘超导线圈电磁场分布和交流损耗的高效准确计算。这一工作的论文以“Numerical solution of nonlinear electromagnetic field problem of superconducting tape using convex optimization”为题发表在《The European Physical Journal Special Topics》，该论文第一作者为兰州大学超导力学2022级博士研究生唐韵开，雍华东教授为通讯作者。这一新颖方法的论文被该期刊遴选为Highlight论文，并在其Highlight论文的报道中指出：“高温超导材料具有复杂的非线性电磁响应。直到目前，如何精确有效地处理ReBCO超导体的电磁问题一直是一挑战性问题。通过发表在EPJ Special Topics（EPJST）上的最新研究，中国兰州大学雍华东与同事表明采用幂律本构关系，将电磁问题能够转化为数学“凸优化问题”，应用这一问题-求解方法，该团队可以精确计算一系列真实超导结构的电磁场和交流损耗。”
上述研究工作得到了国家自然科学基金(Nos. U2241267, 12172155, 12302278)，国家重点研发计划(No. 2023YFA1607300)，国家资助博士后研究人员计划(No. GZC20261069)，甘肃省领军人才计划(No. 23ZDKA0009)，甘肃省自然科学基金(No. 24JRRA781)等项目资助。
论文1链接：https://linkinghub.elsevier.com/retrieve/pii/S0021999126006200
论文2链接：https://link.springer.com/article/10.1140/epjs/s11734-024-01350-9